公略教育
容斥問題，顧名思義就是包含與排斥的問題，是為了避免重復(fù)和遺漏的一種新的計數(shù)方法。這種方法的原理就是先把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算結(jié)果既無遺漏也無重復(fù)。
在我們資料分析中頻繁出現(xiàn)的是二者容斥和容斥極值問題，它們經(jīng)常藏在調(diào)研、調(diào)查類題目當(dāng)中，與比重牽著手一起出現(xiàn)，只要你找到它、熟悉它，那么和容斥相關(guān)的題目就沒那么復(fù)雜了。下面就來結(jié)合比重問題一起揭開容斥問題的真面目。
一、二者容斥：兩部分占比之和大于100%時，兩部分必有交集。
例、2019年2月中下旬，某市統(tǒng)計局隨機(jī)抽取2000名在該市居住半年以上的18~65周歲居民，就其在2019年春節(jié)期間的消費情況進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示：與上年春節(jié)相比，28.3%的受訪居民消費支出有所增加，58.0%的受訪居民消費支出基本持平。
問題：2019年春節(jié)期間有“餐飲消費”的受訪居民中，一定有人：
A.參加教育培訓(xùn)
B.去旅游
C.購保健產(chǎn)品
D.購數(shù)碼產(chǎn)品、智能家電
【答案】A。解析：根據(jù)“2019年......受訪居民中”，結(jié)合選項為不同消費項目，判定本題為現(xiàn)期比重問題。定位圖2，2019年春節(jié)期間不同消費項目受訪居民占比，其中，消費餐飲所占比重為70.2%; 結(jié)合選項，其中受訪居民參加教育培訓(xùn)所占比重為33.2%、去旅游占比為27.9%、購保健品占比為14.9%、購數(shù)碼產(chǎn)品、智能家電占比為16%。在本題中餐飲消費所占比重+某項消費所占比重>100%“時兩個集合必有交集，即有居民同時出參與兩項活動，故所求項目消費所占比重>100%-70.2%=29.8%，選項中只有A項符合。故本題選A。
小結(jié)：題目解決完，會發(fā)現(xiàn)真正需要計算的數(shù)據(jù)是很簡單的，重點是大家要從問題中“get”到所求的是兩個部分的交集，同時也要將調(diào)研問題畫個重點符號，它也經(jīng)常是容斥要出現(xiàn)的小預(yù)兆。
二、容斥極值：若兩部分占比之和>100%時，兩部分必有交集，交集的最小值即為兩部分占比之和-100%。
例、問題：2019年春節(jié)期間消費支出2000元以下的居民中，“發(fā)紅包、給壓歲錢”的至少占：
A.79.4%
B.61.0%
C.54.8%
D.52.9%
【答案】D。解析：題干要求的為兩集合容斥的極值問題，由圖1可知，消費支出在2000元以下的受訪居民占比為36.7%。根據(jù)圖2可知，“發(fā)紅包、給壓歲錢”的受訪居民占比為82.7%，根據(jù)兩集合容斥原理的極值問題可知，消費支出在2000元以下的受訪居民中“發(fā)紅包、給壓歲錢”的受訪居民最少為82.7%+36.7%-100%=19.4%。因整體均為消費支出在2000元以下的受訪居民人數(shù)，則所求占比最少19.4%÷36.7%=52.X%。故本題選D。
小結(jié)：這道題目就是比重結(jié)合容斥問題來考查的，是因為所給的占比總量均為受訪居民人數(shù)，所以可用占比數(shù)據(jù)代替人數(shù)計算。
