公略教育
一、知識鋪墊
容斥問題研究的是集合之間的交叉關(guān)系，對于容斥問題的解題原則，我們總結(jié)了四個字：“不重不漏”，即“每個區(qū)域的元素只算一次”。
如圖(1)所示，A、B兩個集合之間的交叉關(guān)系為二者容斥問題，“不重不漏”就是把①、②、③及M四個區(qū)域各算一次，總結(jié)為公式：
二、例題展示
例1、工廠組織職工參加周末公益勞動，有80%的職工報名參加。其中報名參加周六活動的人數(shù)與報名參加周日活動的人數(shù)比為2：1，兩天的活動都報名參加的人數(shù)為只報名參加周日活動的人數(shù)的50%。問未報名參加活動的人數(shù)是只報名參加周六活動的人數(shù)的：
A.20% B.30% C.40% D.50%
【答案】C
【解析】設(shè)兩天的活動都報名參加的人數(shù)為x，則只報名參加周日活動的人數(shù)為2x，由“報名參加周日活動的人數(shù)等于兩天的活動都報名參加的人數(shù)與只報名參加周日活動的人數(shù)之和”，可得報名參加周日活動的人數(shù)為3x，根據(jù)“報名參加周六活動的人數(shù)與報名參加周日活動的人數(shù)比為2：1”，可得報名參加周六活動的人數(shù)為6x，從而只報名參加周六活動的人數(shù)為5x，那么報名參加活動的總?cè)藬?shù)為：2x+5x+x=8x，由于“有80%的職工報名參加”，所以工廠職工總數(shù)為：8x÷80%=10x，那么未報名參加活動的人數(shù)為：10x-8x=2x，所求是：2x÷5x=40%。故答案選C。
例2、有100人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項，其中未參加跳遠(yuǎn)的有50人，末參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人。問至少有多少人參加了不止一個項目?
A.7 B.10 C.15 D.20
【答案】B
【解析】根據(jù)“有100人參加運動會的三個比賽項目，每人至少參加一項”可知這100人中沒有不參加運動會的人，由“其中未參加跳遠(yuǎn)的有50人，末參加跳高的有60人，未參加賽跑的有70人”可分別得出：參加跳遠(yuǎn)的有50人，參加跳高的有40人，參加賽跑的有30人。設(shè)參加兩項的有x人，參加三項的有y人，根據(jù)三者容斥公式可得：50+40+30-x-2y=100，解得x+2y=20。所求為：“至少有多少人參加了不止一個項目”，即求的是x+y的最小值。由x+y=20-y，可知要想求出x+y的最小值，就要使y盡可能大，當(dāng)x為0時，y取最大值為10，所以求出x+y的最小值是：20-10=10。故答案選B。
通過這兩道例題我們可以發(fā)現(xiàn)只要分析好題干中各個集合所代表的具體含義，進一步分析并利用公式就可以幫助求解一般的容斥問題，希望各位同學(xué)多加練習(xí)此類題目并加以總結(jié)，真正理解容斥問題的“真面目”。
